Sciences et Actuariat
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Options européennes sans versement de dividendes.

Présentation générale :

L'option européenne ne peut s'exercer qu'à maturité, le problème est donc de définir la valeur du sous-jacent à la date de maturité. A l’aide de l’équation (*) on peut déterminer . Comme il intervient une variable aléatoire gaussienne dans cette formule, ne procéder qu’à une seule simulation et donc ne disposer que d’une valeur de avec un unique tirage est sans intérêt. On va donc tirer un grand nombre de variable gaussienne afin de déterminer un grand nombre de valeur de , la loi des grands nombres pourra alors jouer et on obtiendra la valeur du sous-jacent. On aura appliqué à la méthode de Monte-Carlo.

On remarque qu’en simulant un million de fois la valeur de et en prenant la moyenne de ces valeurs, on obtient une valeur qui devient stable. Simuler un million de fois (en l’absence de technique de réduction de variance, chose que nous ne ferons pas dans cette étude) sera donc suffisant afin d’obtenir une valeur fiable pour .

On note ici que notre méthode de simulation est acceptable puisque sur le million de valeurs simulées, aucune est en marge, de plus les valeurs sont mêmes plutôt groupées.

L’exercice du Call européen, qui ne peut être exercé qu’à l’échéance, n’est intéressant que si la valeur du sous-jacent est supérieur à , et il l’est d’autant plus que cette valeur est grande :

De même, l’exercice du Put européen, qui ne peut être exercé qu’à l’échéance, n’est intéressant que si la valeur du sous-jacent est inférieur à , et il l’est d’autant plus que cette valeur est faible :

On peut désormais déterminer aisément la valeur de notre option. Pour chaque valeur simulée on calcul la valeur d’un Call de la manière suivante :

Il convient à présent de vérifier si la méthode utilisée fournit un résultat acceptable. Pour se faire nous allons comparer ces résultats avec ceux obtenu avec une technique couramment utilisé pour la détermination des cours d’options : la formule de Black & Scholes.

Le modèle de Black & Scholes :

Ce modèle permet d’évaluer une option de type européenne, les hypothèses sous-jacentes du modèle sont les suivantes :
• Absences de coûts de transaction.
• Possibilité de vente à découvert.
• Pas de détachement de dividende.
• Taux d’intérêts constant.
Le modèle est constitué de deux actifs, l’un risqué et l’autre pas. A l’instant , le prix de l’actif risqué est et celui de l’actif non risqué, qui s’apparente à une obligation, est de . L’évolution de l’obligation est assez simple puisque l’on suppose :
soit
représente le taux d’intérêt instantané. On supposera toujours que . Le prix de l’actif risqué est donné par l’équation différentielle stochastique suivante :

est un paramètre réel, représente la volatilité, et est un mouvement brownien standard. On suppose par ailleurs que est donné. Par la formule d’Îto on obtient :

Dans le modèle de Black & Scholes originel, les paramètres sont constants, on a alors :
et

C’est à partir de ce modèle que l’on tire la célèbre formule de Black & Scholes. On considère l’option . Le prix d’une telle option est :

Or, en se plaçant dans l’univers risque neutre, on a :

suit une gaussienne centrée réduite. En notant , on obtient :

D’où
Avec

Il vient alors les relations suivantes :


et comme , on obtient finalement :

désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

De la même façon, on détermine la valeur d’un Put de la manière suivante :

On utilise également Black & Scholes pour vérifier les résultats obtenus.

Relation de parité :

Cette relation permet de calculer la valeur la valeur du Put connaissant celle du Call et réciproquement. Ici, comme on connaît la valeur du Call grâce à la formule de Black & Scholes, on va exprimer la valeur du Put comme suit :
d’où

Conclusion :

La comparaison avec Black & Scholes était possible dans la mesure où l’on ne s’intéresse pas à la valeur du sous-jacent à une autre date que celle de l’échéance. Que se passe t’il à présent si l’on s’intéresse à la valeur du sous-jacent à une autre date que celle de l’échéance ?

Au premier abord, s’intéresser à la valeur du sous-jacent à une autre date que celle de l’échéance n’a aucun intérêt. Cependant, que se passe t’il si un dividende vient à être versé en cours de vie de l’option ?