Il faut savoir que les codes cycliques sont en fait une amélioration des codes polynomiaux (que je n'ai pas traité ici) qui sont eux même des codes linéaires systématiques.

Définition :

Un code linéaire est dit cyclique s’il est stable par permutation à droite, c’est à dire : . L’algèbre est un espace vectoriel de dimension dont est une base - démonstration. On peut alors identifier le vecteur de au polynôme .
est un sev de , comme il est cyclique on a .
Donc par récurrence, pour tout polynôme on a d’où est un idéal de .
Car réciproquement, tout idéal de est un sous espace vectoriel stable par permutation à droite.
Comme cet anneau est principal, on a que est engendré par , où est un polynôme de qui divise , de plus est unique lorsqu’on le choisi unitaire - démonstration. s’appelle le polynôme générateur de .

Donc un code cyclique est un code polynomial dont le polynôme générateur divise .

Principe de codage:

On obtient le mot codé associé au mot initial de cette façon où est le reste de la division euclidienne de par le polynôme générateur que l’on note ainsi. Donc .
On remarque que les bits de forment les bits du champ de contrôle, de plus les bits de poids fort forment le mot initial, c’est un code systématique.

Principe de détection des erreurs :

A la réception, chaque mot reçu est divisé par le polynôme générateur et un reste non nul indique qu'il y a eu erreur lors de la transmission.

Recherche des polynômes générateurs :

On considère le corps algébriquement clos de . Dans un tel corps on a : où est une racine n.ième primitive de l’unité dans .
On peut considérer que le corps est un espace vectoriel de dimension sur . On considère alors l’ensemble . On a donc que est un idéal de d’où . Comme , on a alors qui divise . On en déduit que (théorème du cours de MP).

D’après Galois : (résultat admis)
On a automorphisme de corps de qui laisse invariant .
D’où dans (où représente l’ordre de l’élément ).

On recherche alors les polynômes de de degré qui divisent .On s’intéressera aux polynômes unitaires.
Soit un diviseur de dans ; : où est une partie de . On identifie alors l’ensemble à .

Proposition :
Soit une partie de . est stable par permutation par : démonstration.

Il suffit alors de trouver une partie de de éléments stable par permutation par , on pourra alors construire un polynôme générateur. Exemple de construction d'un polynôme générateur.