Notes préliminaires :

Dans toute la suite, on notera un corps fini de éléments ; on a donc où est premier : démonstration.

Matrice de contrôle et matrice génératrice :

Un code linéaire de dimension et de longueur est un sous espace vectoriel de (si c’est alors un code binaire).
Toute matrice du type vérifiant est appelé matrice de contrôle de . On a et .
Si on note la matrice de l’application linéaire , on a alors du type qui est la matrice génératrice du code ; .

Le code systématique :

Le code systématique consiste en la concaténation du mot avec symboles dépendants linéairements des . Les sont les bits de contrôles. On a alors un mot du code du type : où désigne la matrice de taille obtenue en écrivant cote à cote la matrice identité de taille et une matrice quelconque.
On dit d’un code qu’il est systématique s’il existe une matrice génératrice du type . Dans ce cas on a et on a également
D’où où . Comme est de rang , les sev et ont même dimension et donc . La matrice est par conséquent une matrice de contrôle de .

Par conséquent, en ce qui concerne les exemples, le code de parité est donc un code systématique , le code à répétition un .