Une option américaine se distingue de son homologue européenne par la possibilité de l’exercer à tout instant. A priori, pour son évaluation on doit donc s’intéresser à cette possibilité, il faut alors calculer la valeur du Call et donc celle de à tout instant . En effet, le détenteur d’une option décidera à l’instant d’exercer son option si est supérieur au prix d’un Call américain sur le même sous-jacent valant , de prix d’exercice et de maturité .
On exerce l’option en si .
En effet, si et si , alors j’exerce mon option, je la rachète immédiatement, on se retrouve dans la situation initiale mais enrichi de 10 qui représente un gain certain.
On remarque par cet exemple l’importance de la possibilité d’exercice anticipé. Or il semble impossible de calculer de manière continue.

Remarque sur l'exercice anticipée des options américaines :

En l’absence de dividende, une option américaine est une option européenne avec le droit supplémentaire d’exercice anticipé. A une date quelconque, on a donc logiquement :

Or on sait que et que la valeur actuelle du prix d’exercice , à la date , est inférieur à : .
On peut donc écrire que .
Cela signifie donc que la valeur du Call américain, en une date quelconque précédent l’échéance et en l’absence de dividende, est supérieure si l’option est conservée que si elle est exercée.
En présence de dividende, il peut être intéressant d’exercer l’option juste avant le versement du dividende si celui-ci est élevé afin de l’encaisser. Par contre il n’est toujours pas intéressant de l’exercer à une date quelconque. Ceci est démontré et l’ouvrage de Hull « Options, Futures and Other Derivatives » qui représente une référence en la matière.
Compte tenu de l’étude précédente, on a intérêt à exercer l’option américaine uniquement à l’échéance ou juste avant le versement d’un dividende. Cela va simplifier considérablement le problème initial du calcul de , il suffit à présent de le calculer à quelques dates.

La technique d’évaluation de la valeur du Call américain en présence d’un versement de dividende est donc exactement la même que celle d’un Call européen en présence d’un dividende, à la différence que l’exercice du Call américain demeure possible à la date précédent le versement du dividende.

Simulation d'un Call américain en présence de dividendes avec la méthode de Monte-Carlo :

Dans un premier temps on simule un grand nombre de fois , il faut alors regarder s’il y a exercice anticipé. Pour ce faire, on calcul à l’aide de Black & Scholes la valeur de .

Remarque :

Sachant qu’il n’y a qu’un seul dividende, le Call américain précédent est le même que son homologue européen puisqu’il n’y pas de versement de dividende pendant son exercice et que l’option américaine n’est pas exercée de manière anticipée dans ce cas. On aurait donc pu calculer ce Call par la méthode de Monte-Carlo comme dans la partie précédente, mais il aurait alors fallu implémenter un grand nombre de simulation, et ce pour chaque valeur de . C’est pourquoi nous avons choisi d’utiliser ici la formule de Black & Scholes.

Pour chaque valeur de , on dispose de la valeur du Call qui permet de juger de l’exercice anticipé. S’il y a exercice anticipé, on conserve la valeur et on arrête la simulation pour cette valeur de . Sinon, on poursuit la simulation après avoir retranché le dividende à la valeur . On obtiendra donc pour lequel on calcul la valeur du Call qui est de .

Pour chaque valeur de où il n’y a pas eu exercice, on obtient un grand nombre de valeurs du Call en . On effectue la moyenne de ces valeurs que l’on actualise en 0. De même on calcul la moyenne des pour les Call qui ont été exercés, et on actualise en 0. On effectue alors la moyenne de ces valeurs, pondérées par les probabilités d’apparitions de l’exercice anticipé et son complémentaire, on obtient la valeur du Call recherchée.