Démonstrations.

Proposition sur la recherche des polynômes générateurs :

Rappel :
Soit la caractéristique de . on a .
Comme on en déduit que pour on a qui divise . D’où .
On a alors et ce résultat peut s’étendre à .

Reprenons :
On pose . On a avec . Donc. D’où on a ce qui implique que .
Or est un morphisme additif. Donc car .

On a alors qui est une bijection. Donc est stable par .

Réciproquement :
Soit une partie de stable par multiplication par . puisque . En effet, par récurrence sur montrons que si alors .
Pour la propriété est claire. Soit avec .
avec pour car alors divise .

D’où et par hypothèse de récurrence : .

On a donc ce qui implique que on a avec .
Or l’équation dans admet exactement racines, en effet : est un groupe cyclique de cardinal . Donc on a d’où .
Donc les éléments de sont les racines de cette équation. D’où .
On a donc montré que .

Construction d'une base de :

est un idéal de , on a alors que est une algèbre, donc un -espace vectoriel de dimension dont est une base. En effet :
Soit , en utilisant la division euclidienne de par on a :
avec . D’où :
donc en notant on obtient où on confond et .

Ce qui prouve que la famille est génératrice de .

Reste à montrer que cette famille est également libre.

L'idéal de est engendré par qui est unique :

Soit la projection canonique. Si est un idéal de , est un idéal de l’anneau principal , et l’on sait que le polynôme unitaire de plus bas degré de vérifie . Comme est surjective, d’où . De plus, montre que divise .

Montrons l’unicité :
Si vérifie , pour un polynôme convenable , donc il existe tel que . Comme divise , divisera . En recommençant de la même façon, on montre que divise , de sorte que les polynômes et soient associés et unitaires, donc égaux.

Cardinal d'un corps fini :

Montrons qu’un corps fini a un cardinal du type où est un nombre premier.

-> Soit un corps fini à éléments, montrons que .

Rappel concernant la caractéristique :

En notant 1 le neutre de , on a est un morphisme d’anneaux. On a alors qui est un idéal de , d’où avec .

Si alors est un morphisme injectif, donc contient qui est un anneau isomorphe à , ce qui signifie que est infini, ce qui n’est pas le cas.

Remarque :

Si et infini, alors contient toute les fractions de donc un corps isomorphe à (ensemble des rationnels).

Donc on a , ce qui implique . Comme est un sous anneau de , qui est un anneau intègre (car corps), est lui aussi intègre donc de même pour . On en déduit que est un nombre premier que l’on notera .

On a alors qui est un isomorphisme, donc contient un sous corps isomorphe à . On dit que est de caractéristique .

On a donc la situation suivante :

est un corps fini à éléments, est un isomorphisme. En notant on a alors que a une structure naturelle de -espace vectoriel.
Si est infini alors est infini, ce qui est exclu. En effet, il contiendrait par exemple un système générateur, donc un nombre infini d’éléments.
Donc . Ce qui signifie que donc .

-> Réciproquement montrons qu’il existe un corps à éléments où est premier.

On admet qu’il existe un sur-corps de tel que , est scindé sur . On considère alors et . On a donc car toutes les racines de dans sont simples. En effet, .
Si alors .