Je vous présente ici 2 exemples triviaux, puis un exemple de construction d'un polynôme générateur de code cyclique.

La répétition pure :

Ce code, qui consite à répèter fois chaque bits, a une distance minimale égale à . Il permet de corriger un nombre inférieur à erreurs de transmission par un simple algorithme majoritaire. Mais la dilution extrême du message entraîne un taux d’information de . (il faut prendre pour corriger au moins une erreur).

Le bit de parité :

La forme la plus simple de détection d’erreur est l’adjonction aux mots du message d’un bit de parité. Soit, par exemple, un message comportant 7 données binaires. On compte le nombre de bits égaux à 1. Si ce nombre est pair, le bit de parité rajouté vaudra 0, si ce nombre est impair le bit de parité vaudra 1. De cette façon le message émis de longueur 8 aura toujours un nombre de bits égaux à 1 qui sera pair (parité égale à 0). Si le message reçu à une parité égale à 0, on considérera que le message a été correctement transmis. Mais il peut y avoir deux erreurs de transmission, ce bit de parité ne permettra pas de détecter cette forme d’erreur. Si la parité du message est égale à 1, on sait qu’il y a certainement une erreur de transmission. Mais il n’est pas possible de retrouver la donnée erronée.
Voici un exemple d'application du code par bits de parité ; ici en passant les "mots" sous forme de matrices, on obtient un code qui est 1-correcteur. On a ici un mot de 4 bits que l’on code en une matrice carrée en haut à gauche ; puis on rajoute une ligne et une colonne dont les coefficient sont égaux à la somme des bits de la ligne ou de la colonne. Lorsque l’on reçoit un message muni d’une erreur, on retrouve sa position par l’intersection ligne colonne et on le décode facilement puisque nous sommes en binaire.

Construction d'un polynôme générateur :

Travaillons avec . On dispose de 2 choix de partie de : et .
Travaillons avec , on a :
où est une racine 7-ième primitive de l'unité. On obtient .
Or car on travaille dans .
D 'où ou .
Si alors car .
De même dans l'autre cas. On a donc le choix entre les 2 polynômes générateurs suivant : et .
De plus, on obtient les mêmes résultats en travaillant avec , ce qui prouve qu'il n'existe que 2 polynômes générateur du code .